Alice 想要得到一个长度为 n 的序列，序列中的数都是不超过 m 的正整数，而且这 n 个数的和是 p 的倍数。
Alice 还希望，这 n 个数中，至少有一个数是质数。
Alice 想知道，有多少个序列满足她的要求。
$$1 \leq n \leq 10 ^ 9, 1 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 7, 1 \leq p \leq 100$$
分析
这题做得很爽…
首先是一个套路，维护倍数可以转为维护当前和的模。因此如果递推的话，只需要100个状态，看起来是可做的。但是这个n的范围实在是有点，先列一下再说。
把2e7个数字全部模完，它们对答案的贡献只和剩余类有关。这样我们就能知道在和的模为a时有多少种方案能够凑到b了。得出递推方程
$$
f(i,j)=\sum_{0 \leq k < p} f(i-1,(j-k) \mod 3)c(k)
$$
其中$c(k)$是模为k的数有多少个。
至少有一个质数的条件转为无质数，从所有的c中扣去质数后再算一遍方案数，二者相减。
最后，关于n，这个公式能够用快速幂加速。
代码
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119
120
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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
using pii=pair<int,int>;
using ll=long long;
const int MAXN=110;
const int MAXM=20000010;
const int MOD=20170408;
bool isnp[MAXM];
vector<int> primes;
void init(int n){
isnp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!isnp[i]){
primes.push_back(i);
}
for(int j=0;j<primes.size() && i*primes[j]<=n;j++){
isnp[i*primes[j]]=1;
if(i%primes[j]==0){
break;
}
}
}
}
struct Mat{
ll a[MAXN][MAXN];
Mat(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
Mat operator*(const Mat &other){
Mat res;
for(int i=1;i<MAXN;i++){
for(int j=1;j<MAXN;j++){
for(int k=1;k<MAXN;k++){
res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*other.a[k][j]%MOD)%MOD;
}
}
}
return res;
}
void debug(){
for(int i=1;i<MAXN;i++){
for(int j=1;j<MAXN;j++){
cout<<a[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}
void normalize(){
for(int i=1;i<MAXN;i++) {
a[i][i] = 1;
}
}
};
Mat qpow(Mat a,int b){
Mat res;
res.normalize();
for(;b;b>>=1,a=a*a){
if(b&1)res=res*a;
}
return res;
}
Mat base;
int pool[MAXN],nopool[MAXN];
Mat incprime,noprime;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
int n,m,p;cin>>n>>m>>p;
for(int i=1;i<=m;i++){
pool[i%p]++;
nopool[i%p]++;
}
init(m);
for(auto it:primes){
nopool[it%p]--;
}
// for(auto it:nopool){
// cout<<it<<" ";
// }
// cout<<endl;
for(int j=1;j<=p;j++){
for(int i=1;i<=p;i++){
//cout<<((i-1-(j-1))%p+p)%p<<endl;
incprime.a[i][j]=pool[((j-1-(i-1))%p+p)%p];
noprime.a[i][j]=nopool[((j-1-(i-1))%p+p)%p];
}
}
base.a[1][1]=1;
incprime=base*qpow(incprime,n);
// incprime.debug();
noprime=base*qpow(noprime,n);
// noprime.debug();
cout<<((incprime.a[1][1]-noprime.a[1][1])%MOD+MOD)%MOD<<endl;
return 0;
}
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